Александр Павлович родился 1 мая 1929 года в Суражском районе в деревне Андреевка в семье военнослужащего бывшей Царской армии. Через год родители с маленьким сыном переехали в Иркутскую область, а ещё по пришествию времени их семья очутилась в Могилевской области.

В 12 лет Саша встретил Великую Отечественную войну, вместе со своими родными он оказался на оккупированной территории. Этот факт, в будущем, очень сильно повлиял на творчество писателя. После войны Александр Павлович решил связать свою жизнь с литературой. Окончив Новозыбковский педагогический институт, Шкроб работал как преподавателем, так и редактором районных газет. В 80-е годы он переезжает в Брянск, где начинает работать в одной из школ. В ней же, под его руководством, стал действовать литературный кружок «Литература и жизнь».

Первая книга А. Шкроба «Два подарка» вышла в издательстве «Брянский рабочий» в 1958 г. Здесь же (в соавторстве с В.К. Соколовым) в 1961 г. издана книга «Брянская старина». Потом в Туле вышли книги для детей «Сын партизанский» (1964), «Тайна черной пустоши» (1967), «Еланька» (1969), «Лешкина пасека» (1974), повести «Тополиные листья» и «Круглое озеро» (1979).

Александр Павлович скончался 15 мая 1992 года.