Борис Михайлович Афанасьев родился 5 июня 1920 г. в городе Брянске в семье рабочего. После окончания неполной средней школы поступил на обучение фабрично-заводского производства. Впоследствии работал токарем и бригадиром ремонтной бригады в поселке Урицкий (нынешний Брянск). В 1940 г. Афанасьев был призван на воинскую службы в ряды РККА.

Окончив в 1941 г. Чугуевскую военную авиационную школу, Борис Михайлович смог оказаться на фронтах Великой Отечественной войны только через 2 года. Вплоть до мая 1945 г. он совершил 367 боевых вылетов и стал участником 23 воздушных сражений.

6 октября 1943 г. Борис получил срочный боевой приказ: вместе с Дмитрием Рубцовым сделать разведку с фотографированием аэродрома «Смоленск-Северный», одного из главных участков Духовщины, где враг возвел прочные сооружения для защиты своей живой силы и техники. В районе Смоленска летчик обнаружил тщательно замаскированный аэродром, на котором находились 35 самолетов.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 29 июня 1945 г. капитан Борис Афанасьев был удостоен высокого звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда». В 1956 г. окончил курсы усовершенствования офицерского состава, а затем со следующего года стал командиром 348-го истребительного авиационного полка 22-й воздушной армии.

В 1960 г. Борис Михайлович Афанасьев в звании полковника был уволен в запас. Жил в городе Рига (Латвия). Умер 14 сентября 1976 г. Похоронен в Риге на кладбище Микеля.

Именем Афанасьева в г. Брянске названа одна из улиц, а на стене МБОУ «Гимназия № 4» висит посвящённая ему мемориальная доска.