Федор Федорович Абашев родился 2 октября 1908 г. в Пермской области. Свою военную деятельность начал в ноябре 1930 г. с призывом в ряды РККА со службы в полку по охране промышленных предприятий в городе Дзержинске. В течение следующего года Абашев учился в полковой школе, а затем стал помощником командира взвода в Балахне.

Когда грянула Великая Отечественная война, капитан Федор Федорович Абашев был переведен в действующую армию и назначен командиром 909-го батальона стрелкового полка, который был сформирован на территориях Стародуба, Унечи и Трубчевска. Уже 10 июля 1941 г. его команда была передислоцирована в район Красного Рога.

Спустя 18 дней, Абашев занял оборону под городом Рославлем. Попав под удар противника, батальон, вошедший в состав 28-й армии, был вынужден отступить. Тяжелые бои длились вплоть до конца сентября, в октябре Федор Федорович был ранен, поэтому его срочно эвакуировали в военный госпиталь.

Абашев вернулся на Брянщину в мае 1943 г. в звании майора и был назначен начальником штаба 197-й стрелковой дивизии. Под его командованием освобождался Володарский поселок под Брянском, а в сентябре дивизия вошла в состав Брянского фронта и освобождала город.

В конце войны Абашев принимал участие в Пражской и Берлинской наступательных операциях. В июле 1945 г. после расформирования дивизии полковник Абашев убыл на учебу в Военную академию имени М.В. Фрунзе. По ее окончании в феврале 1947 г. назначен командиром 204-го гвардейского стрелкового полка 69-й гвардейской стрелковой дивизии БВО. С апреля 1948 г. в связи с послевоенной реорганизацией армии командовал 312-м отдельным гвардейским стрелковым батальоном в 37-й отдельной гвардейской стрелковой бригаде.

Последние годы жизни Федор Федорович провел в Ленинграде и скончался 1 сентября 1977 г. 22 августа 1983 г. Брянский горисполком по инициативе ветеранов бывшей 197-й дивизии переименовал Спортивную улицу Володарского района Брянска в улицу имени Абашева.